Geometrische Verteilung einfach erklärt: Formel, Beispiele & Anwendungen

Die geometrische Verteilung gehört zu den wichtigsten Konzepten der Wahrscheinlichkeitsrechnung – und begegnet uns häufiger, als man denkt: Wie viele Würfe braucht man durchschnittlich, bis beim Mensch-ärgere-dich-nicht eine Sechs fällt? Wie viele Produkte muss man in der Qualitätskontrolle testen, bis man den ersten Defekt findet? All diese Fragen lassen sich mit der geometrischen Verteilung beantworten.

In diesem Beitrag erklären wir die geometrische Verteilung verständlich und praxisnah für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe, Gymnasiastinnen und Gymnasiasten sowie Studierende. Sie erfahren, wie die Formel funktioniert, was die Gedächtnislosigkeit bedeutet und wo Ihnen die geometrische Verteilung im Alltag begegnet.

Was ist die geometrische Verteilung?

Die geometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die beschreibt, wie viele Versuche man benötigt, bis ein Ereignis zum ersten Mal eintritt.

Definition und Voraussetzungen

Die geometrische Verteilung basiert auf einem Bernoulli-Experiment, das folgende Eigenschaften hat:

1. Nur zwei Ausgänge: Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit p) oder Misserfolg (mit Wahrscheinlichkeit 1-p)
2. Konstante Wahrscheinlichkeit: Die Erfolgswahrscheinlichkeit p bleibt bei jedem Versuch gleich
3. Unabhängige Versuche: Das Ergebnis eines Versuchs beeinflusst nicht die nachfolgenden
4. Wartezeit auf den ersten Erfolg: Wir zählen, wie viele Versuche bis zum ersten Erfolg nötig sind

Mathematische Notation:

• X ~ Geom(p) bedeutet: Die Zufallsvariable X ist geometrisch verteilt mit Parameter p
• X beschreibt die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg
• k ∈ {1, 2, 3, 4, ...} (natürliche Zahlen ab 1)

Unterschied zu anderen Verteilungen

Viele verwechseln die geometrische Verteilung mit der Binomialverteilung:

Die Formel der geometrischen Verteilung

Das Herzstück der geometrischen Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion:

Wahrscheinlichkeitsfunktion

P(X = k) = (1 - p)^(k-1) × p

Dabei gilt:

• P(X = k): Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg genau beim k-ten Versuch eintritt
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Versuch
• k: Anzahl der Versuche (k = 1, 2, 3, ...)
• (1 - p): Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs

Was bedeutet die Formel?

Die Formel drückt aus:

• Wir haben (k-1) Misserfolge mit jeweils Wahrscheinlichkeit (1-p)
• Danach folgt genau ein Erfolg mit Wahrscheinlichkeit p
• Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist das Produkt: (1-p) × (1-p) × ... × (1-p) × p

Anschauliches Beispiel: Beim Würfeln wollen wir eine Sechs (p = 1/6):

• P(X = 1) = (1/6) = 16,67% → Sechs beim ersten Wurf
• P(X = 2) = (5/6) × (1/6) = 13,89% → Erst beim zweiten Wurf Sechs
• P(X = 3) = (5/6)² × (1/6) = 11,57% → Erst beim dritten Wurf Sechs

Verteilungsfunktion (kumulative Wahrscheinlichkeit)

Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der erste Erfolg spätestens beim k-ten Versuch eintritt:

F(k) = P(X ≤ k) = 1 - (1 - p)^k

Diese Formel ist besonders nützlich, wenn man wissen möchte: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich innerhalb der ersten k Versuche Erfolg?"

Erwartungswert und Varianz

Erwartungswert

Der Erwartungswert gibt an, wie viele Versuche man durchschnittlich benötigt, bis der erste Erfolg eintritt:

E(X) = 1/p

Interpretation:

• Bei p = 1/6 (Würfel): E(X) = 6 → Im Durchschnitt braucht man 6 Würfe für eine Sechs
• Bei p = 1/2 (Münze): E(X) = 2 → Im Durchschnitt 2 Würfe für "Kopf"
• Bei p = 0,1 (10% Erfolg): E(X) = 10 → Im Durchschnitt 10 Versuche

Je kleiner die Erfolgswahrscheinlichkeit p, desto mehr Versuche braucht man durchschnittlich.

Varianz

Die Varianz misst die Streuung um den Erwartungswert:

Var(X) = (1 - p) / p²

Standardabweichung:

σ = √[(1 - p) / p²]

Die Standardabweichung gibt an, wie stark die tatsächliche Anzahl Versuche vom Durchschnitt abweicht.

Beispiel Würfel (p = 1/6):

• E(X) = 6 Versuche
• Var(X) = (5/6) / (1/36) = 30
• σ = √30 ≈ 5,48

Das bedeutet: Die tatsächliche Anzahl Würfe streut typischerweise um etwa 5,5 Würfe um den Mittelwert von 6.

Gedächtnislosigkeit: Die besondere Eigenschaft

Die geometrische Verteilung hat eine einzigartige Eigenschaft: Sie ist gedächtnislos (memoryless property).

Was bedeutet Gedächtnislosigkeit?

Mathematisch:

P(X > k + m | X > k) = P(X > m)

In Worten: Wenn bereits k erfolglose Versuche durchgeführt wurden, ist die Wahrscheinlichkeit, dass weitere m Versuche ohne Erfolg bleiben, genau gleich gross wie wenn man von Null starten würde.

Anschauliches Beispiel: Würfeln

Sie haben bereits 10 Mal gewürfelt, ohne eine Sechs zu erhalten. Wie viele weitere Würfe brauchen Sie durchschnittlich?

Antwort: Genau gleich viele wie zu Beginn – nämlich durchschnittlich 6 weitere Würfe.

Der Würfel "erinnert sich nicht" an die bisherigen Misserfolge. Jeder neue Versuch ist völlig unabhängig von den vorherigen.

Warum ist das wichtig?

Die Gedächtnislosigkeit ist charakteristisch für unabhängige Ereignisse. Sie hilft zu verstehen:

• Dass der "Gambler's Fallacy" (Trugschluss) falsch ist
• Dass nach einer langen Serie ohne Erfolg nicht die Erfolgswahrscheinlichkeit steigt
• Dass jedes Bernoulli-Experiment wirklich unabhängig ist

Wichtig: Die Gedächtnislosigkeit gilt nur bei der geometrischen Verteilung (diskret) und der Exponentialverteilung (kontinuierlich).

Geometrische Verteilung berechnen: Konkrete Beispiele

Beispiel 1: Mensch ärgere dich nicht

Aufgabe: Beim Brettspiel "Mensch ärgere dich nicht" benötigt man eine Sechs, um loszulaufen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau beim 4. Wurf die erste Sechs würfelt?

Lösung:

1. Identifiziere Parameter: p = 1/6, k = 4
2. Wende Formel an: P(X = 4) = (5/6)³ × (1/6)
3. Berechne: P(X = 4) = (125/216) × (1/6) = 125/1296 ≈ 0,0965 = 9,65%

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 9,65%.

Beispiel 2: Qualitätskontrolle

Aufgabe: In einer Produktion sind 8% der Produkte defekt. Wie viele Produkte muss man durchschnittlich kontrollieren, bis man das erste defekte Produkt findet?

Lösung:

1. Identifiziere: p = 0,08
2. Erwartungswert: E(X) = 1/0,08 = 12,5

Antwort: Durchschnittlich muss man 12,5 Produkte testen.

Beispiel 3: Spätestens beim n-ten Versuch

Aufgabe: Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man innerhalb der ersten 3 Würfe mindestens eine Sechs?

Lösung:

1. Gesucht: P(X ≤ 3)
2. Verteilungsfunktion: F(3) = 1 - (5/6)³
3. Berechne: F(3) = 1 - 125/216 = 91/216 ≈ 0,4213 = 42,13%

Antwort: Mit etwa 42% Wahrscheinlichkeit erhält man innerhalb von 3 Würfen eine Sechs.

Beispiel 4: Marketing-Kampagne

Aufgabe: Eine Online-Werbung hat eine Click-Rate von 15%. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Click beim 5. Besucher erfolgt?

Lösung:

1. Parameter: p = 0,15, k = 5
2. Formel: P(X = 5) = (0,85)⁴ × 0,15
3. Berechne: P(X = 5) = 0,5220 × 0,15 ≈ 0,0783 = 7,83%

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 7,83%.

Praktische Anwendungen der geometrischen Verteilung

Die geometrische Verteilung begegnet uns in vielen Bereichen des Alltags und der Wissenschaft:

1. Qualitätskontrolle und Produktion

• Anzahl Tests bis zum ersten Defekt: In der industriellen Produktion hilft die geometrische Verteilung, die Qualität zu überwachen
• Wartezeit bis zur Maschinenausfallzeit: Vorhersage von Wartungsintervallen
• Stichprobenprüfung: Wie viele Produkte müssen geprüft werden?

2. Sport und Spiele

• Anzahl Würfe bis zur gewünschten Augenzahl: Brettspiele wie Mensch ärgere dich nicht
• Freiwürfe im Basketball: Wie viele Versuche bis zum ersten Treffer?
• Penalty-Schiessen: Wahrscheinlichkeit des ersten Treffers

3. Netzwerktechnik und Informatik

• Datenpaket-Übertragung: Anzahl Versuche bis zur erfolgreichen Übertragung
• Verbindungsaufbau: Wie viele Versuche bis zur erfolgreichen Verbindung?
• Fehlerrate bei Übertragungen: Analyse von Übertragungsfehlern

4. Biologie und Medizin

• Anzahl Versuche bis zur erfolgreichen Befruchtung: In der Reproduktionsmedizin
• Grizzlybären auf Nahrungssuche: Erfolgsrate bei der Jagd
• Medikamententests: Anzahl Versuche bis zur gewünschten Wirkung

5. Marketing und Vertrieb

• Conversion-Rate: Anzahl Kontakte bis zum ersten Verkauf
• Kundenakquise: Wie viele Anrufe bis zum ersten interessierten Kunden?
• A/B-Testing: Analyse von Klickraten und Conversions

Tipps für Schülerinnen, Schüler und Studierende

1. Parameter immer zuerst identifizieren

Bevor Sie rechnen: Was ist p (Erfolgswahrscheinlichkeit) und was ist k (Anzahl Versuche)?

2. Unterscheiden Sie zwischen "genau" und "spätestens"

• "Genau beim k-ten Versuch" → Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k)
• "Spätestens beim k-ten Versuch" → Verteilungsfunktion F(k)

3. Formel auswendig lernen

Die Grundformel sollten Sie im Schlaf beherrschen:

• P(X = k) = (1 - p)^(k-1) × p
• E(X) = 1/p
• Var(X) = (1 - p) / p²

4. Gedächtnislosigkeit verstehen

Die Gedächtnislosigkeit ist eine zentrale Eigenschaft. Üben Sie Aufgaben dazu, um das Konzept zu verinnerlichen.

5. Praxis macht perfekt

Lösen Sie viele Übungsaufgaben mit unterschiedlichen Kontexten:

• Würfelbeispiele für das Grundverständnis
• Realistische Szenarien für die Anwendung
• Aufgaben zur Gedächtnislosigkeit für das Konzeptverständnis

6. Visualisierung nutzen

Zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion für verschiedene Werte von p:

• Beobachten Sie, wie die Verteilung bei kleinem p "flacher" wird
• Erkennen Sie, dass bei grossem p die meiste Wahrscheinlichkeit bei kleinen k-Werten liegt

7. Taschenrechner richtig einsetzen

Bei der Matura oder Prüfungen:

• Speichern Sie (1-p) zwischen, um Rundungsfehler zu minimieren
• Kontrollieren Sie Ihre Rechnung durch Plausibilitätsüberlegungen
• Bei grossen k-Werten: Logarithmus nutzen

Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1: Münzwurf

Eine faire Münze wird geworfen, bis zum ersten Mal "Kopf" erscheint. Berechnen Sie: a) Die Wahrscheinlichkeit, dass "Kopf" genau beim 3. Wurf erscheint b) Den Erwartungswert der Anzahl Würfe c) Die Wahrscheinlichkeit, dass "Kopf" innerhalb der ersten 4 Würfe erscheint

Lösung: a) p = 0,5, k = 3: P(X = 3) = (0,5)² × 0,5 = 0,125 = 12,5% b) E(X) = 1/0,5 = 2 Würfe c) F(4) = 1 - (0,5)⁴ = 1 - 0,0625 = 0,9375 = 93,75%

Aufgabe 2: ZAP-Prüfung Vorbereitung

Ein Schüler löst Übungsaufgaben für die ZAP. Die Wahrscheinlichkeit, eine Aufgabe beim ersten Versuch korrekt zu lösen, beträgt 70%. Wie viele Versuche benötigt er durchschnittlich, bis er die erste Aufgabe richtig löst?

Lösung: p = 0,7 E(X) = 1/0,7 ≈ 1,43 Versuche

Im Durchschnitt benötigt er etwa 1,4 Versuche – die meisten Aufgaben löst er bereits beim ersten Versuch.

Aufgabe 3: Internet-Verbindung

Die Erfolgsrate beim Verbindungsaufbau zu einem Server beträgt 80%. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Verbindung genau beim 3. Versuch erfolgreich ist.

Lösung: p = 0,8, k = 3 P(X = 3) = (0,2)² × 0,8 = 0,04 × 0,8 = 0,032 = 3,2%

Zusammenfassung: Die wichtigsten Punkte

Die geometrische Verteilung ist ein mächtiges Werkzeug in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Kernpunkte:

1. Fragestellung: Wie viele Versuche bis zum ersten Erfolg?
2. Formel: P(X = k) = (1 - p)^(k-1) × p
3. Erwartungswert: E(X) = 1/p (durchschnittliche Anzahl Versuche)
4. Besondere Eigenschaft: Gedächtnislosigkeit
5. Anwendungen: Von Brettspielen über Qualitätskontrolle bis zu Netzwerken

Wann verwenden?

• Bernoulli-Experimente (zwei Ausgänge)
• Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit
• Unabhängige Versuche
• Wartezeit auf den ersten Erfolg

Die geometrische Verteilung bildet eine wichtige Grundlage für fortgeschrittene Themen wie die negative Binomialverteilung, Warteschlangentheorie und stochastische Prozesse. Wer sie versteht, legt einen soliden Grundstein für weiterführende Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung in Studium und Praxis.

Ob in der Matura, im Gymnasium oder im Mathematik-Studium: Die geometrische Verteilung ist ein unverzichtbares Konzept, das uns hilft, Zufallsprozesse besser zu verstehen und fundierte Entscheidungen zu treffen.